الأعداد العشرية المنتهية والدورية

الأعداد العشرية المنتهية والدورية، يقتصر فهم كثير مننا للأعداد العشرية على أنها تلك الأعداد المُوزعة على جانبي الفاصلة العشرية، لكننا قد نغفل عن التمييز بين أنواعٍ مختلفةٍ لها، كالأعداد العشرية المنتهية، وغير المنتهية بما فيها الدورية، لذلك سوف نتعرف على الأعداد العشرية المنتهية والدورية.

ما هو العدد العشري؟

• العدد العشري هو ذلك العدد الذي يحتوي على فاصلة عشرية تفصل بين الرقم الصحيح الموجود به وبين وأجزائه العشرية، وهذا النظام العشري يقوم على الرقم عشرة، ويمكن من خلاله التعبير عن كل الأرقام أياً كانت قيمتها.
• يتكون أي عدد عشري من ثلاثة أجزاء رئيسية؛ أولها العدد الصحيح الموجود على يسار الفاصلة العشرية، وقد يكون العدد الصحيح “واحد” أو أكثر، والأجزاء العشرية الموجودة على يمين الفاصلة، وتكون قيمتها أصغر من الواحد.
• وهذا الجزء العشري يمكن التعبير عنه بدلالة الكسور، وهنا نشير إلى أن هذا العدد الواقع على يسار الفاصلة إذا كان أقل من الواحد؛ فإننا نكتب العدد صفر على يسار الفاصلة، فيكتب مثلاً الرقم وليس 525 صحيح.

ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟

منازل العدد العشري

• عند التحرك في العدد العشري من اليمين إلى اليسار، فإن قيمته تزداد عشرة أضعاف، والعكس صحيح؛ فبالتحرك من اليسار إلى اليمين تقل القيمة بمقدار عشرةِ أضعاف، وذلك بفعل منازل الأعداد من آحاد وعشرات ومئات.. إلخ.
• فمثلاً العدد 590 يقع الرقم ثمانية في منزلة الآحاد، والرقم واحد في منزلة العشرات، وهو ما يعني زيادة قيمته كلما اتجهنا نحو اليسار وقلتها كلما اتجهنا نحو اليمين، ونفس الأمر ينطبق على الجزء العشري.
• فالرقم خمسة أكبر من التسعة، والتسعة أكبر من الصفر، لأن الرقم خمسة هو جزء من العشرة في حين أن التسعة هي جزء من المائة، وهكذا. أي أن قاعدة الزيادة والنقصان تنطبق على كلٍ من العدد الصحيح والعشري.

الأعداد العشرية المنتهية والدورية

1- الأعداد العشرية المنتهية

• هي التي تحتوي على عدد معين من الأرقام الموجودة يمين الفاصلة أو الموجودة بالجزء العشري، بحيث يمكن عدها، ويمكن كتابة العدد العشري المنتهي على صورة عدد نسبي أو كسر (أ/ب).
• فمثلاً رقم 234 يُلاحظ فيه وجود عدد معين من الأرقام على يمين الفاصلة، وهو ثلاثة، أي أن له ثلاثة منازل، وبالتالي يمثل عدداً عشرياً منتهياً، وكذلك في الرقم 49.6793؛ إذ يحوي أربعة منازل محددة يمكن عدُّها.

ولا تتردد في زيارة مقالنا عن: ما هي الأعداد الحقيقية؟

2- الأعداد العشرية الدورية

• هناك نوع ثانٍ من الأعداد العشرية، وهي الأعداد غير المنتهية، وهي التي تحوي عدداً لا نهائياً من الأعداد الموجودة على يمين الفاصلة، وبالتالي لا يمكن تحديد عدد المنازل العشرية الموجودة فيها.
• من بين الأعداد العشرية غير المنتهية؛ الأعداد العشرية غير الدورية، وهي التي تتضمن أعداداً غير منتهية على يمين الفاصلة، أي لا يمكن عدُّها، بالإضافة لأن تلك الأعداد لا تتكرر بشكلٍ منتظم.
• ومن الأمثلة الشائعة للأرقام العشرية غير المنتهية، هي تلك النسبة الثابتة والمستخدمة كقاعدة في حساب محيط ومساحة أي دائرة، وقيمتها… 3.1415926، ونلاحظ فيها أن الأعداد يمين الفاصلة لم تتكرر بنسقٍ ثابت.
• نوع آخر من الأعداد غير المنتهية؛ هي الأعداد العشرية الدورية، وهي التي تتكرر فيها الأعداد الموجودة يمين الفاصلة بنسقٍ منتظمٍ ومحدد، ومن أمثلتها العدد 909090، إذ يتكرر فيه الرقم تسعين ثلاث مراتٍ على يمين الفاصلة.
• وهذا النوع من الأرقام العشرية الدورية، يمكننا كتابته بطريقتين؛ الأولى تكون كما هو مكتوب في المثال، والثانية بكتابته على هذا الشكل 90 بحيث نكتب التسعين مرة واحدة فقط مع وضع خطٍّ أفقي فوقها للدلالة على تكرارها.

اقرأ من هنا عن: معلومات عن القسمة المطولة كاملة

كيف نحول العدد العشري المنتهي إلى كسر؟

• لتحويل العدد العشري المنتهي إلى كسر؛ يجب كتابته على الشكل التالي (العدد العشري/1)، ثم يتم ضرب البسط والمقام في العدد عشرة أو مضاعفاته، حسب عدد المنازل الموجودة على يمين الفاصلة.
• فمثلاً لو أردنا تحويل الرقم إلى كسر عادي، نقوم بكتابته على صورة (العدد العشري/1) فيصبح (55. /1)، وبسبب وجود منزلتان يمين الفاصلة، نقوم بضرب البسط والمقام في العدد مائة فيكون الناتج (55/100).

تحويل الأعداد العشرية الدورية إلى كسور

• يتم تحويل العدد الدوري إلى كسر باستخدام القانون الآتي (الجزء الدوري المكرر من الجزء العشري/ الرقم 9 مكرراً بعدد منازل التكرار)، فمثلاً لو أردنا تحويل الرقم 424242 إلى كسر عادي.
• فإننا نقوم بتحديد الجزء المكرر وهو 42، ثم قسمته على رقم 9 مكرراً بعدد منازل التكرار؛ أي ثلاث مرات لأن الرقم 42 تم تكراره ثلاث مرات، فيكون الناتج هو (42/999).

تحويل الأعداد العشرية إلى دورية

• في بعض الأحيان، نحتاج إلى تقريب واختصار الأعداد العشرية الموجودة على يمين الفاصلة، سواءً كانت أعداداً منتهية أو غير منتهية، وهو ما يشير إلى عملية تدوير هذه الأعداد، ويتم ذلك من خلال الاكتفاء بكتابة عددٍ معين من المنازل.
• وللقيام بهذه العملية، يجب اتباع خطوتين؛ أولهما أن نحدد المنزلة العشرية التي سنكتفي بكتابتها، ثانيهما النظر إلى العدد الموجود على يمين هذه المنزلة، فإذا كان أقل من خمسة نُبقي على المنزلة المراد التقريب لها كما هي.
• وإذا كان العدد على يمين المنزلة أكبر من خمسة؛ فإننا نقوم بزيادة هذه المنزلة بمقدار واحد، فإذا أردنا تقريب العدد 436 لأقرب جزء من المائة، فإننا ننظر إلى رقم ثلاثة الموجود بمنزلة المائة.
• ثم ننظر إلى الرقم التالي له وهو الرقم ستة، ولأن الرقم ستة أكبر من الرقم خمسة المشار إليه في قاعدة التقريب؛ فإننا نقوم بزيادة رقم ثلاثة إلى أربعة، فيصبح الرقم بعد التقريب هو 44.

وبذلك نكون قد تعرفنا معكم في هذا المقال على الأعداد العشرية المنتهية والدورية، لاسيما المنتهية والدورية، وكيفية تحويل كل نوعٍ منها إلى النوع الآخر، دون الحاجة لاستخدام الآلة الحاسبة للقيام بتلك العملية.