مقدمة في المصفوفات
مقدمة في المصفوفات، موقع مقال mqall.org يقدم لكم المصفوفات تمثل مشكلة صعبة أمام الكثير من الطلبة ومع ذلك فهي تعتبر من أسهل أشكال العمليات الجبرية في حالة شرحها بطريقة مبسطة وسهلة وإليكم اليوم مقالنا تحت عنوان مقدمة في المصفوفات والذي سيتيح لكم التعرف على المصفوفات بطريقة سهلة.
محتويات المقال
[ عرض ]
المقصود بكلمة المصفوفات
- يمكن تعريف المصفوفة على أنها ترتيب محدد للأرقام في شكل أعمدة وصفوف وعادة ما تتم كتابة المصفوفة في شكل مربع أو مربع مستطيل.
- وتسمى الخطوط الرأسية داخل المصفوفة الأعمدة وتسمى الخطوط الأفقية بالصفوف.
- ويمكن التعبير عن أبعاد المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة وأبعاد المصفوفة= عدد الصفوف × عدد الأعمدة وعلي سبيل المثال إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة هو 2 والرقم عدد الأعمدة هو 3 يتم التعبير عن أبعادها على النحو التالي: 2 × 3.
- يسمى كل شيء داخل المصفوفة عناصر المصفوفة بغض النظر عما إذا كانت أرقامًا أو رموزًا أو تعبيرات جبرية وإذا كان عدد الصفوف والأعمدة في إحدى المصفوفات يساوي عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة أخرى.
- فتكون هاتان المصفوفة تعتبران ذو أبعاد متساوية ويمكن تسمية المصفوفة بأي حرف عربي وبالنسبة للغة الإنجليزية يتم تمثيلها بأحد الأحرف الكبيرة.
- أما محتوى المصفوفة بمعنى آخر يتم تمثيل عناصره بكتابة الحرف.
- الذي يمثل اسم المصفوفة وكتابة رقم كل صف وكل عمود من العنصر أسفل الحرف وهذا يكون اسم المصفوفة.
ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: بحث عن المصفوفات وتطبيقاتها
التطور التاريخي للمصفوفات
- يمثل أول شكل لاستخدام المصفوفات عند حل المعادلات باللغة الصينية ويطلق عليه “تسعة فصول من الفن الرياضي”.
- ويتضمن أيضًا المبدأ المحدد والذي يمكن إرجاعه إلى ما بين 300 قبل الميلاد و200 بعد الميلاد.
- وفي عام 1683 نشر عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو ورقة عن المصفوفات.
- يليه العالم الألماني جوتفريد لايبنيز نشر ورقة بحثية عن المصفوفات عام 1693 ونشر غابرييل كرامر بعد ذلك قواعده الحسابية في عام 1750.
- ركزت نظرية المصفوفة المبكرة على دور المحدد بدلاً من أن تكون مستقلة عن المصفوفة.
- ولم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل مع آرثر كايلي ونظرية المصفوفة الخاصة به حتى عام 1858.
- نظرية المصفوفة هي فرع من فروع الرياضيات تركز على دراسة المصفوفات وفي الواقع.
- وتعتبر أحد فروع الجبر الخطي لذلك فهو يغطي بالفعل موضوعات متعلقة بنظرية الرسم البياني والجبر والتوافقيات والإحصاءات.
- وتمثل المصفوفة مجموعة مستطيلة من الأرقام وفي عام 1848 .
- كما صاغ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة كاسم لمجموعة من الأرقام المرتبة.
- وفي عام 1855 اقترح آرثر كايلي مصفوفة لتمثيل العناصر الخطية وتعتبر هذه الفترة بداية نظرية الجبر الخطي والمصفوفة.
- وتعتبر دراسة الفراغات المتجهة في مجالات محددة فرعًا من الجبر الخطي المفيد في نظرية التشفير.
- والذي يؤدي بشكل طبيعي إلى البحث واستخدام المصفوفات في مجالات محددة في نظرية التشفير.
- الوحدة عبارة عن تعميم لفضاء المتجه فيتم التفكير في الأمر على أنه مساحة للناقلات على الحلبة.
- وأدى هذا إلى البحث حول حلقات المصفوفات ولا تعتبر نظرية المصفوفة في هذا المجال فرعًا من فروع الجبر الخطي.
- إلا إذا كانت الحلقة الموضحة متبادلة.
- والنظرية والنتائج في نظرية كيلي هاملتون مقبولة إذا كانت الحلقة المحددة حقلًا مثاليًا رئيسيًا.
- فإن شكل سميث الطبيعي يكون متوافقًا ولكن البقية قابلة للتطبيق فقط في حالة مصفوفة ذات معقد أو حقيقية الأعداد.
أنواع المصفوفات
هناك عدة أنواع من المصفوفات وهي:
- المصفوفة المربعة: ويكون عدد الصفوف بها يتساوى مع عدد الأعمدة
- مصفوفة الصف: هي مصفوفة تحتوي على صف واحد فقط
- مصفوفة العمود: هذه مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط
- المصفوفة الصفرية: هي مصفوفة تتكون من أصفار فقط
- كما المصفوفة القطرية: هذه مصفوفة مربعة يتم وضع عناصرها فقط على طول الخط القطري من الطرف الأيمن العلوي إلى الطرف الأيسر السفلي.
- أيضًا المصفوفة القياسية: هي مصفوفة قطرية من عناصر متساوية تقع على القطر من الطرف الأيمن العلوي إلى الطرف الأيسر السفلي
- المصفوفة المثلثية العلوية: وهي مصفوفة مربعة تقع فيها جميع العناصر على القطر وجميع العناصر الموجودة تحتها تساوي الصفر.
- المصفوفة المثلثية السفلية: هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر على القطر مساوية للصفر.
- مصفوفة الوحدة: هي مصفوفة قطرية ومصفوفة مربعة لها نفس عدد الصفوف والأعمدة ويمكن أن تتكون من أي عدد من الصفوف والأعمدة أي يمكن أن تكون أبعادها 2 × 2، 3 × 3.
أو حتى 100 × 100 والقطر يتكون من رقم واحد فقط ويعتبر حالة خاصة من المصفوفة.
لأن نتيجة ضربها بأي قيمة مصفوفات أخرى تعطي نفس المصفوفة الأخرى.
ولا تتردد في زيارة مقالنا عن: بحث عن المصفوفات وانواعها
عمليات جمع وطرح المصفوفات
- عند إضافة أو طرح مصفوفة في العمليات الحسابية لمصفوفة يجب أن تتساوى عملية الجمع والطرح.
- بمعنى آخر يجب أن يكون عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفتين متساويًا وعلى سبيل المثال إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة هو 3 صفوف و 5 أعمدة.
- فيمكن إضافتها إلى مصفوفة أخرى فقط عندما يكون عدد الصفوف 3 صفوف وعدد الأعمدة 5 أعمدة.
- ومن ناحية أخرى لا يمكن إضافته إلى مصفوفة أخرى على سبيل المثال عدد الصفوف هو 3 وعدد الأعمدة هو 4.
ضرب المصفوفة
هناك نوعان من ضرب المصفوفة وهما:
- الضرب القياسي: ضرب رقمًا في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
- ضرب المصفوفة: هذا هو النوع الثاني حيث يتم ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض ويحدث فقط عندما يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية فيمكن ضرب المصفوفتين مع بعضها البعض.
بحيث يكون أبعاد المصفوفة التي تم الحصول عليه هو:عدد صفوف المصفوفة الأولى × عدد أعمدة المصفوفة والثانية ،وهناك مجموعة من الخطوات التي يجب اتباعها عند ضرب المصفوفة
تأكد من أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
وكل عنصر من كل صف من الصف الأول للعنصر المقابل لكل عمود من المصفوفة الثانية يتم ضربه على التوالي في المصفوفة الثانية ثم إضافة الناتج.
محدد المصفوفة
- يستخدم محدد المصفوفة في العديد من التطبيقات على سبيل المثال: حل المعادلات الخطية وإيجاد معكوس المصفوفة والتطبيقات الأخرى في الرياضيات ومحدد المصفوفة له العديد من المزايا .
- إنه رقم حقيقي في حالة أن تكون المصفوفة مربعًا ولا يمكن إيجاد المصفوفة العكسية للمصفوفة إلا عندما لا تساوي الصيغة صفرًا.
- ويستخدم معكوس المصفوفة لتمثيل محدد المصفوفة بنفس العلامة المستخدمة لتمثيل القيمة المطلقة.
- وعلي سبيل المثال محدد المصفوفة A يمثله |A| وطريقة إيجادها بأبعادها المختلفة أي باختلاف عدد الصفوف والأعمدة وفيما يلي الشرح:
- إذا كانت أبعاد المصفوفة 2 × 2 أي أنها مقسمة إلى صفين وعمودين يمكن العثور عليها من خلال تطبيق القواعد التالية: محدد المصفوفة = (الحد الأقصى على اليمين × القيمة الأدنى على اليسار) – (الحد الأقصى على اليسار × القيمة الأدنى على اليمين).
معكوس المصفوفة
- يمكن تعريف معكوس المصفوفة على أنه مصفوفة وحاصل ضرب المصفوفة الأصلية يكون ناتجها هو مصفوفة الوحدة أي مصفوفة يبلغ قطرها جميعًا واحدًا.
- والعناصر المتبقية تساوي صفرًا وتختلف طريقة إيجاد معكوس المصفوفة حسب أبعادها.
اقرأ من هنا عن: الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية
وبهذا عزيزي الطالب نكون قد انتهينا من موضوع اليوم.
ونتمنى أن نكون قد وفقنا في القيام بشرح مبسط لموضوع المصفوفات وعمليات الجمع والطرح والضرب المتعلقة بها.
بجانب التعرف على التطور التاريخي للمصفوفات وبالنهاية نتمنى لكم النجاح والتوفيق.