قواعد المضاعفات الأعداد والقواسم
قواعد المضاعفات الأعداد والقواسم، موقع مقال mqaall-com يقدم لكم قواعد المضاعفات الأعداد والقواسم، حيث أنه من أهم وأشهر الدروس في مادة الرياضيات، الكثيرون يعتقدون أنها قواعد صعبة ولكن سـنثبت لك العكس.
قواعد المضاعفات الأعداد والقواسم
أولًا يجب أن نتعرف على كل من المضاعفات والقواسم:
المضاعفات: تعد المُضاعفات عبارة عن ضرب عدد ما في آخر يضاعفه، والناتج يدعى المُضاعَف.
- على سبيل المثال: مضاعفات العدد (3) هي: 3، 6، 9، 12، 15، 18، …. إلى آخره.
القواسم : تعد القواسم عبارة عن أرقام قابلة للقسمة على العدد المطلوب قسمته، أو أرقام حينما نضرب بها عددين من خلالهما نحصل على العدد المطلوب تحديد قواسمه (عوامله).
- على سبيل المثال: قواسم العدد (12) هي: 1,12, 2, 6, 3, 4.
قواعد المضاعفات
- لا ينتهي المُضاعَف.
- العدد المذكور يكون أصغر المُضاعفات، بينما الأكبر لا نهاية له.
- ليس من المُهم كتابة المضاعفات بصورة مُرتبة.
قواعد القواسم
- تنتهي القواسم بشكل طبيعي.
- أكبر عدد في القواسم هو المذكور والأصغر العدد (1).
- ليس من المُهم كتابة القواسم بصورة مُرتبة.
اقرأ من هنا عن: ما هي الأعداد الأولية والأعداد الغير أولية في الرياضيات
القاسم المشترك الأكبر
أكبر عدد من الممكن لكلا العددين القسمة عليه دون وجود باقٍ، ويرمز لاختصاره في اللغة العربية بـ (ق.م.أ)، ألا وهو القاسم المُشترك الأكبر.
- على سبيل المثال: قم بإيجاد القاسم المُشترك الأكبر للعددين (12،16).
- الحل: يتم تحليل كلا العددين إلى العوامل الأولية خاصتهم، ثم نقوم بكتابتهم على صورة جدا.
- بحيث يتم استنتاج القاسم المُشترك الأكبر بين العوامل المُشتركة.
- وهنا سـنستنتج أن القاسم المُشترك الأكبر للعددين (12،16) = 4..
ما هو المضاعف المشترك الأصغر؟
- يعتبر أصغر عدد موجب صحيح قابل للقسمة على عددين دون باقٍ، هذا هو المُضاعف المُشترك الأصغر، واختصاره باللغه العربيه (م. م. أ).
- ويوجد فرق كبير بين القاسم المُشترك الأكبر والمُضاعف المُشترك الأصغر.
- وبالتالي نستنتج أن مضاعف أي رقم يكون حاصل ضرب الرقم في عدد صحيح، على سبيل المثال: مضاعف العدد 5 هو الرقم 10؛ لأن 2×5 = 10.
- وأيضًا العدد 10 قابل للقسمة على كل من العددين دون وجود باقٍ، ويعد أصغر عدد موجب صحيح قابل للقسمة على 2 و5.
- وبناءًا على مبدأ المُضاعف سـنستنتج أن الرقم 10 مضاعف مشترك أصغر أيضًا.
المضاعف المشترك الأصغر مع الكسور
- إذا أردنا جمع الكسور أو طرحها أو مقارنة كل مهما بالآخر، سـنلجأ إلى استخدام المُضاعف المُشترك الأصغر في المقام وفي أغلب الأحيان يطلق عليه (أصغر المقام المُشترك).
- لأ كل كسر يمكن التعبير عنه من خلال صورة الكسر بـهذا المقام.
- على سبيل مثال: عند استخدام العدد 42 في المقام، بسبب المُضاعف المُشترك الأصغر بين العددين 6 و21.
طريقة حساب المُضاعف المُشترك الأصغر
الطريقة الأولى
إذا أردنا استنتاج المُضاعف المُشترك الأصغر لـعددين، سنبدأ بكل رقم ونقوم بـاستخراج مضاعفاته على حدة.
ومن ثَم نخرج المُضاعفات المُشتركة التي ظهرت في كلا الرقمين، ونقوم باختيار أصغر عدد فيما عدا الصفر.
- على سبيل مثال: قم بإيجاد المُضاعف المُشترك الأصغر للأعداد (6،7،21).
الحل:
- نستخرج مضاعفات العدد 6: 6،12، 18، 24، 30، 36، 42، 48، 54، 60.
- ونستخرج مضاعفات العدد 7: 7، 14، 21، 28، 35، 42، 56، 63.
- وكذلك نستخرج مضاعفات العدد 21: 21، 42، 63.
نقوم باستنتاج المُضاعفات المُشتركة، وبالتالي سـنلاحظ أن من بين هذه الأعداد هناك العدد (42) في كل منهما، لذا سنأخذ العدد (42) لتلك الأعداد كـ مضاعف مشترك أصغر.
الطريقة الثانية
- سـنقوم بـتحليل كلا العددين إلى العوامل الأولية خاصتهم، ويتم كتابتها بـصورة جداء قوي.
- وبذلك سيكون المُضاعف المُشترك الأصغر للعددين هو العوامل المشتركة لهما وغير المُشتركة أيضًا وبأكبر أس.
- ومن ثَم يتم ضرب هذه العوامل الناتجة في بعضها البعض.
على سبيل مثال: قم بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين (12 ، 30) بدون استخدام الأس:
الحل: في البداية نستخرج العوامل الأولية لكل عدد مذكور:
- ما هي العوامل الأولية للعدد 12 = 2 × 2 × 3.
- والعوامل الأولية للعدد 30 = 2 × 3 × 5.
بـالخطوة الثانية سـنقوم بوضع قائمة بها كافة الأعداد الأولية التي استخرجناها، بعدد مرات حدوثها 2 × 2 × 3 × 5 = 60.
بعدها يتم ضرب الأعداد الناتجة معنا بقائمة الأعداد الأولية سيكون الناتج معنا الرقم (60) وهو المُضاعف المشترك الأصغر للأعداد المذكورة (12، 30).
كما يمكنك التعرف على: الأعداد العشرية المنتهية والدورية
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة السلم
تدعىٰ هذه الطريقة بـطريقة السلم أو طريقة الكيك، ويتم استخدامها في القسمة من أجل استنتاج المُضاعف المُشترك الأصغر لـمجموعة معينة من الأرقام.
ويتم استخدام طريقة السلم من قِبَل الكثيرين نظرًا لكونها الأسرع والأسهل من أجل إيجاد المُضاعف المُشترك الأصغر، نظرًا لاعتماده على تقسيم يسير.
وتدعى هذه الطريقة بالعديد من الألقاب، مثل:
- السلم.
- الكيك.
- الصندوق.
- مربع العامل.
طريقة الشبكة
رغم اختلاف المُسميات ولكن جميعها تستخدَم من أجل إيجاد المُضاعف المُشترك الأصغر.
وطريقة الصناديق وطريقة الشبكات ربما بها بعض الاختلافات.
ولكن كافة الطرق تستخدم القسمة على الأعداد الأولية من أجل استنتاج المُضاعف المُشترك الأصغر.
استخدام العامل المشترك الأكبر لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر
يمكننا أن نتعرَّف على العامل بأنه عبارة عن الرقم الناتج حينما نستطيع القيام بـقمسة رقم على رقم آخر بشكل متساوٍ، وأيضًا هذا العامل يعرق بـالمقسوم عليه.
ومن خلال ذلك سـنستنتج أن العامل المُشترك الأكبر لـرقمين أو أكثر من رقمين يعد أكبر رقم مشترك بينهم جميعًا، وهناك أسماء عديدة للعامل المُشترك الأكبر وكل منهم يحمل نفس المعنى، مثل:
- العامل المُشترك الأعلى.
- القاسم المُشترك الأعلى.
- أكبر مقياس مشترك.
- القاسم المُشترك الأكبر.
ونسبةً إلى ذلك نستطيع الاستنتاج أن المُضاعف المُشترك الأصغر للعددين (أ، ب) = (أ × ب)/القاسم المُشترك الأكبر لكل من العددين.
على سبيل المثال: قم بإيجاد المُضاعف المشترك الأصغر للعددين (6، 10) باستخدام العامل:
الحل:
- عوامل العدد 6 = 1،2،3،6.
- عوامل العدد 10 =1،2،5،10.
- وبالتالي العوامل المشتركة بين كل من العددين هو (2).
إذا المضاعف المشترك الأصغر للعددين(10،6) سـيكون = (6*10)/2 رقم (2) هو العامل الذي استنتجناه بـالنهاية = 2/60= 30، إذًا المُضاعف المُشترك الأصغر هو العدد (30).
استنتاج المضاعف المُشترك الأصغر للأرقام العشرية
- من خلال البحث عن الرقم الذي له عدد كبير من المنازل العشرية، سـنستطيع من خلاله استنتاج المُضاعف المُشترك الأصغر للأرقام العشرية.
- ومن ثَم نقوم بـإحصاء عدد كل المنازل العشرية في الرقم الذي اختارناه.
- وبعد ذلك نقوم بـتحريك المنازل العشرية في اتجاه اليمين، كي تصير أرقامًا صحيحةً.
- وعدد حركات المنازل التي سنقوم بها سـتكون بناءًا هل بعدد المنازل التي استنتجناها حينما اخترنا الرقم سابقًا.
- وبعد ذلك نستخرج المُضاعف المُشترك الأصغر للأرقام التي استنتجناها ومن ثَم نقوم بإعادة تحريك المنازل العشرية مرة أخرى بـنفس عدد الحركات السابقة.
- والاختلاف بـهذه المرة أن التحريك سـيكون لجهة اليسار، وذلك نكون قد حصلنا على المُضاعف للأرقام العشرية الموجودة لدينا.
اقرأ أيضاً: ما هي الأعداد الأولية والأعداد المركبة ؟
قواعد المضاعفات الأعداد والقواسم، كان سهل ممتع وبسيط حيث ذكرنا معًا مفاهيم وأمثلة وقواعد وبعض الحالات المُختلفة.