حل معادلة من الدرجة الثانية

تمت الكتابة بواسطة: راندا عبد الحميد آخر تحديث: نوفمبر 10, 2021

حل معادلة من الدرجة الثانية، من الطرق التي يبحث عنها الطلبة والمعلمين لحل مسائلهم الرياضية في هذا المقال سوف نعرض عبر موقع mqall.org طريقة حل هذا النوع من المعادلات والقوانين المختلفة المتبعة في حلها ونوضح بعض الأمثلة تطبيق على هذه القوانين.

محتويات المقال [ عرض ]

المعادلة من الدرجة الثانية

في مقال عن حل معادلة من الدرجة الثانية علينا معرفة إن المعادلة من الدرجة الثانية يمكن وصفها بأنها معادلة جبرية يوجد بها متغير واحد.
كما أنها تسمى المعادلة التربيعية لأنه يوجد بها س² وأول من قام بمحاولة في حل المعادلة من الدرجة الثانية هم البابليون وذلك خلال محاولتهم في إيجاد أبعاد مساحة ما.
بعد ذلك جاء الخوارزمي والذي يعرف الآن باسم أبو الجبر وقام بتأليف صيغة مطابقة في الصفات صيغة المعادلة الثانية الحالية وذلك في كتابه المشهور باسم حساب الجبر والمقابلة.
وهذا الطريقة التي قام بتأليفها من أكثر الطرق الشاملة التي وضعت لحل المعادلة الثانية أكثر من الطريقة البابلية.

ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: بحث عن حل المعادلات والمتباينات الأسية وأنواعها كاملة

الصيغة العامة لمعادلة الدرجة الثانية

إن الصيغة العامة التي يتم كتابة معادلة الدرجة الثانية بها أو المعادلة التربيعية هي:

أس2+ ب س + جـ = صفر، حيث إنّ: أ: معامل س2، حيث أ ≠ صفر، وهو ثابت عددي.
لذلك يمكن تعريف الصيغة أس2+ ب س + جـ = صفر على أن الأعداد الثابتة بها هي ب وجـ ومن الممكن أن تساوي هذه الأعداد الصفر.
ونكون أعلى قيمة يص إليها الأس في معادلة الدرجة الثانية هي 2 كما إن معامل أ لا يساوي الصفر مطلقا.

حل معادلة من الدرجة الثانية

يوجد عدد من الطرق المختلفة التي يمكن بها حل المعادلة من الدرجة الثانية ومنها:

الطريقة الأولى لحل معادلة من الدرجة الثانية بالقانون العام

في هذه الطريقة يتم استخدام القانون العام إن القانون العام هو أشمل قانون لحل المعادلة التربيعية ولكن شرطه أن يكون مميز المعادلة عدد موجب أو صفر.
مميز المعادلة هو قيمة يتم فيها تحديد جذور المعادلة أو عدد الحلول ويتم كتابة القانون العام على شكل س=( -ب ± (ب2 – 4أجـ )√)/2أ.
في القانون العام يقصد بالعلامة ± أنه يوجد حلان لناتج المعادلة أو يوجد جذران لها وهما ما يأتي:
س1=( -ب + (ب2 – 4أجـ )√)/2أ
س2=( -ب – (ب2 – 4أجـ )√)/2أ
لكن يجب ألا ننسى أنه ليس في كل الأحوال يوجد حلان للمعادلة حيث أنه يمكن وجود حل واحد فقط وفي أحيانا أخرى قد لا تود حلول نهائيا.
هنا يجب الرجوع إلى المميز والذي يرمز لها بالرمز Δ ويعتمد قانون المميز إن Δ=ب2 – 4أجـ.
حيث أنه إذا كانت قيمة المميز موجب حيث Δ > صفر فيكون للمعادلة حلان أو جذران.
أما إذا كانت قيمة المميز تساوي الصفر أي Δ = صفر فإن المعادلة يكون لها حل واحد مشترك.
بينما إذا كانت قيمة المميز سالب حيث Δ < صفر فنجد أنه لا يوجد حلول للمعادلة بالأعداد الحقيقة إنما يوجد حلان لها عن طريق الأعداد المركبة.
من هنا نجد أن القانون العام هو القانون الأشمل في حل معادلة من الدرجة الثانية مهما كان شكلها وقيمة مميزها.

أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية بالقانون العام

المثال الأول

س2 + 4س – 21 = صفر.
أولا نقوم بتحديد معاملات الحدود أ=1 , ب=4 , جـ= -21.
ثم نقوم بالتعويض في القانون العام، س= (-4 ± (16- 4 *1*(-21))√)/(2*1). فينتج لدينا (-4 ± (100 )√)/2 ومنه (-4 ± 10)/2 = -2± 5.
نجد قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: {3, -7}.

المثال الثاني

س2 + 2س +1= 0.
نقوم بتحديد المعاملات أ=1, ب=2 ,جـ =1.
ويكون المميز= (2)^2 – 4*1*1√ = 4- 4√= 0 إذًا هناك حل وحيد لأن قيمة المميز=0.
بعد التطبيق في القانون العام، س= (-2 ± (0 )√)/2*1 = 1-.
تكون القيمة التي تكون حلًّا للمعادلة هي: س= {1-}.

المثال الثالث

س2 + 4س =5.
أولا نقوم بكتابة المعادلة على الصورة القياسية: س2 + 4س – 5= صفر.
ثم تحديد المعاملات أ=1، ب=4، جـ =-5.
عند التطبيق في القانون العام، س= (-4 ± (16- 4*1*(-5))√)/(2*1).
س= (-4 ± (16+20)√)/2 ومنه س= (-4 ± (36)√)/2. س= (-4 + 6) /2 = 2/2 = 1.
أو س= (-4 – 6) /2 = -10/ 2= -5.
إذًن قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: {-5 ,1}.

الطريقة الثانية لحل معادلة من الدرجة الثانية

إن الطريقة الثانية لحل المعادلة من الدرجة الثانية هي طريقة التحليل إلى العوامل وتعد هذه الطريقة من أكثر الطرق التي يتم استخدامها لسهولتها.
وعند الحل عن طريق هذه الطريقة يجب أن نقوم بكتابة المعادلة في صورتها القياسية كما يلي أس2+ ب س + جـ= صفر.
في هذه الطريقة نجد أن أ= 1 ويتم فتح الأقواس في شكل حاصل الضرب الآتي:
(س (±* (س (± ونقوم بفرض عددين يكون ناتج مجموعهما يساوي ب من حيث الإشارة وكذلك القيمة.
ويكون حاصل ضربهما يساوي قيمة جـ وهو الحد الثابت من حيث القيمة وأيضا الإشارة.
بينما إذا كان أ= 1 فأنه يتم إيجاد الناتج من حاصل الضرب عن طريق ضرب أ* جـ ويرمز لناتج هذه العملية بالرمز ع.
بعد ذلك يتم البحث عن عددين يكون ناتج حاصل ضربهما يساوي قيمة ع ولكن يجب أن يكون ناتج جمعهما أيضا يساوي ب.

طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة التحليل إلى عوامل

4س2+ 15 س + 9= صفر.
عند حل هذه المعادلة نقوم أولا بتحديد قيم العوامل فنجد أ= 4 وب= 15 وجـ= 9.
ثم نقوم بإيجاد ناتج ضرب أ* جـ= 4* 9= 36.
بعد ذلك نبحث عن عددين يكون حاصل ضربهما مساويا 36 ومجموعهما يساوي قيمة المعامل س أي يساوي 12 و3.
عندها نجد 3* 12 = 36 ناتج جمعهما 12+ 3 = 15 وهذا ما يمثل قيمة ب.
نقوم وقتها باستبدال قيمة ب بالقيمتين وعندها تصبح المعادلة كالآتي
4س2+ 12 س +3 س + 9= صفر.
ثم نقوم بأخذ العامل المشترك الأكبر لكل حدين عن طريق التجميع كما يلي 4س (س+3) + 3 (س+3).
نجد أن الناتج أصبح به قوسان متشابهان فنقوم بإخراج عامل مشترك عن طريق الخطوة الفائتة) س+3) * (4س+3( وعندها نجد س= 4/ -3.
لهذا نقول إن في طريقة التحليل إلى العوامل يمكننا الاعتماد على معامل س^2 مع تتبع الخطوات السابقة وإذا أمكن استخدام القسمة على معامل س^2 لجميع الحدود والتخلص منه فإننا نتتبع خطوات الحل التي تذكر إذا كان أ=1.

أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة التحليل إلى عوامل

المثال الأول

س2 – 3س – 10= صفر.
نقوم بفتح قوسين وإيجاد عددين حاصل ضربهما =- 10 وهي قيمة جـ ويكون مجموعهما يساوي -3 وهي قيمة ب.
عند البحث نجد أنهما العددين -5, 2 نقوم بعدها بعمل مساواة كل قوس بالصفر: (س- 5) *(س+2) =0.
وفي النهاية نحصل على قيمة س التي تكون حلًا للمعادلة هي: {-2 ,5}.

المثال الثاني

س2 +5س + 6 =صفر.
نقوم أولا بفتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية: (س+3) *(س+2) = 0. بعدها نقوم بمساواة كل قوس بالصفر: (س+2) =0، (س+3) = 0.
وبحل المعادلتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-3,-2}.

المثال الثالث

2س2 +5س =12.
نقوم في البداية بكتابة المعادلة على الصورة العامة: 2س2 +5س -12= 0.
بعدها نقوم بفتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية وهي كالآتي
(2س-3) (س+4) = 0.
نعمل على مساواة كل قوس بالصفر: (2س-3) = 0 أو (س+4)= 0.د
وفي النهاية نقوم بحل المعادلتين فتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {3/2, -4}.

الطريقة الثالثة لحل معادلة من الدرجة الثانية

في الطريقة الثالثة لحل معادلة من الدرجة الثانية فإننا نقوم باستخدام الجذر التربيعي وهذه الطريقة تعتمد على عدم وجود الحد الأوسط (ب* س).
مثل هذه المعادلة س2 – 1=24 ففي هذه المعادلة يتم نقل جميع الحدود الثابتة في المعادلة إلى الجهة اليسرى وعندها يتم كتابة المعادلة كالآتي س2 = 25.
عندما نقوم بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة فإن قيمة س تصبح
س: {-5, +5} حيث يتم استخدام الجذر التربيعي في حالة عدم وجود حد أوسط.

اقرأ من هنا عن: هو بمثابه كلمه السر في المعادلة من ثلاث حروف

أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة الجذر التربيعي

المثال الأول

س2 – 4= 0.
أولًا نقوم بنقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س2 =4.
بعدها نعمل على أخذ الجذر التربيعي للطرفين فتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: س= 2 أو س= -2.

المثال الثاني

2س²+ 3= 131.
في البداية نقوم بنقل الثابت 3 إلى الطرف الأيسر: 2س² = 131-3 , فتصبح المعادلة 2س2 = 128.
نقوم بالقسمة على معامل س2 للطرفين: س² = 64.
ثم أخذ الجذر التربيعي للطرفين فتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي:
س= -8 أو س= 8.

المثال الثالث

(س – 5)² – 100= صفر.
أولا نقوم بنقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: (س – 5)² =100.
ثم أخذ الجذر التربيعي للطرفين: (س-5)²√=100√
فتصبح المعادلة (س -5) =10 أو (س -5) = -10.
بعد حل المعادلتين الخطيتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {15, -5}.

الطريقة الرابعة في حل معادلة من الدرجة الثانية

هذه الطريقة تعرف بطريقة إكمال المربع وفي هذه الطريقة نقوم بكتابة المعادلة في شكل مربع كامل.

في طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة إكمال المربع نقوم بحل هذه المعادلة س2 – 10س= 21 – نقوم باتباع الخطوات الآتية وهي:
في البداية نقوم بإيجاد قيمة ²(2/ ب) وبناء على المعادلة السابقة فإن ²(2/ -10) =25.
عند إضافة الرقم 25 إلى كلا الطرفين فتصبح س2 – 10س+ 25 =21- + 25 فهنا يصبح الطرف الأيسر مربع كامل وتصبح المعادلة في شكل س2 – 10س+ 25 =4.
بعد ذلك نقوم بتحليل الطرف الأيمن عن طريق استخدام التحليل إلى العوامل للحصول على مربع كامل أيضا فيصبح
(س -5) * (س -5) =4.
أي (س- 5 )² =4 ثم نقوم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ويصبح لدينا ناتجان وهما س-5= +2 أو س-5= -2.
في النهاية نقوم بحل معادلة الناتجين فيصبح لدينا قيمة س= {7, 3}.

أمثلة طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة إكمال المربع

المثال الأول

س2 + 4س +1= صفر.
في البداية نقوم بنقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س2 + 4س = -1.
ثم إكمال المربع الكامل على الطرف الأيمن بإضافة ناتج العدد (2/ب)2= (4/2)2= (2)2=4.
بعد ذلك إضافة الناتج 4 للطرفين: س2 + 4س+4 = -1+4لتصبح:
س2 + 4س+4 = 3.
نقوم بكتابة الطرف الأيمن على صورة مربع كامل: (س+2)2=3.
بعدها نقوم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين وقتها ينتُج معادلتين وهما: س+2= 3√ أو س+2= 3√-.
بعد حل المعادلتين الخطيتين نجد قيم س التي تحقق المعادلة هي:
{3√+2- , 3√-2-}.

المثال الثاني

5س2 – 4س – 2= صفر.
أولا نقسم جميع الحدود على 5 (معامل س2): س2 – 0.8 س – 0.4= صفر.
نقوم بنقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س2 – 0.8 س = 0.4.
ثم تطبيق قاعدة 2(2/ب) = 2(0.8/2) =0.42 = 0.16.
بعدها إضافة الناتج 0.16 للطرفين لتصبح المعادلة على هذا الشكل:
س2 – 0.8 س+0.16 = 0.4 + 0.16.
ثم نقوم بكتابة الطرف الأيمن على صورة مربع 2(س – 0.4) = 0.56.
بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي للطرفين فينتُج معادلتين وهما: س – 0.4= 0.56√ أو س-0.4= 0.56√-.
وعن طريق حل المعادلتين الخطيتين، تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي:
{-0.348, 1.148}.

المثال الثالث

س2 + 8س + 2= 22.
نقوم بنقل الثابت إلى الطرف الأيسر: س2 + 8 س =22-2 فتصبح المعادلة:
س2 + 8 س =20.
وعند تطبيق قاعدة 2(2/ب) = 2(8/2) =42 = 16.
بعدها نقوم بإضافة الناتج 16 للطرفين: س2 + 8 س+16 = 20 + 16.
نقوم بكتابة الطرف الأيمن على صورة مربع: 2(س + 4) =36.
وفي النهاية نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما: س+4= – 6 ومنه س=-10، أو س+4= 6 ومنه س=2.
وتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-2,10}.

في نهاية مقال عن حل معادلة من الدرجة الثانية نكون قد وضحنا مفهوم المعادلة من الدرجة الثانية وكذلك طرق مختلفة في طريقة حلها والقوانين الخاصة بها وبعض الأمثلة التي توضح الخطوات المتبعة في حل المعادلة وبالتوفيق للجميع.

رياضيات